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Geometría

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La necesidad para medir tierras determinó los primeros pasos de la Geometría. El filósofo griego Eudemo de Rodes, del siglo IV B.C., uno de los primeros historiadores de las ciencias, cuentas que los egipcios midieron sus tierras para seguir el régimen de los floodings anuales del río el Nilo. De hecho, el provém del término del geo de los Griegos de las palabras (tierra) y metron (medido).
En la dirección moderna, la Geometría es disciplinas él las matemáticas que tienen para el objetivo el estudio del espacio y las formas en él contuvieron.
Aspectos históricos. En las viejas culturas de Egipto y del Mesopotâmia, la Geometría consistió simplemente en un sistema de reglas empíricas. Los Griegos, entre quienes Euclides era distinguido, en el siglo III B.C., tenían sistematizar todo el conocimiento existente en el tema y habían establecido sus lechos en un sistema de los axiomas de los cuales, según principios deductivos, si consiguieron excesivamente los resultados. La pelea de los principios de la Geometría euclidiana condujo a la construcción, en el siglo XIX, de nuevos sistemas geométricos, llamado los geometrias no-Euclidiano, y descargado en la generalización de sus métodos y de su uso los espacios más abstractos cada vez.
Elementos y figuras geométricas
La Geometría, en cualesquiera de sus boardings, presenta una serie de elementos primarios comunes. Los conceptos, punto son inmediatos distinguido en este nivel, línea (línea recta, curva etc.), superficie, segmento y otros que, convenido, forma todas las figuras geométricas. Los geometrias descriptivos y obra clásica del projetiva si ocupar de la representación y de las características de las figuras y de tus proyecciones. Algunas figuras geométricas básicas se distinguen en ellas.
Polígonos. Un polígono de los lados de n (siendo una n más grande o igual los tres) es definido por los puntos ordenados n de un plan (A1, A2,… ) Llama las cimas, entre las cuales no puede tener tres colineares consecutivos. Los segmentos de n (A1A2, A2A3,… AnA1) se llama los lados, y su intersección forma las cimas.
El polígono es una línea cerrada, es decir, divide el plan en dos regiones, una interior y otra exterior al polígono. La diferencia entre ellas es que cualquier línea mitad-recta que origen sea un punto en la región interior corta por lo menos un lado del polígono, qué no sucede necesariamente si el punto está en la región exterior. En función del número de lados (o de ángulos), los polígonos se clasifican en los triángulos, los cuadriláteros, los pentágonos, los hexágonos, los heptágonos, los octógonos, los eneágonos, los decagons etc.
Triángulos. Los polígonos de tres lados reciben el nombre de triángulos. Pueden ser equiláteros (cuando los tres lados son iguales, es decir, tienen longitud iguales), isósceles (dos lados iguales) o escalenos (tres diversos lados). De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos se dividen en acutângulos (si todos los ángulos son los menores de edad que 90o), los rectángulos (si uno de los ángulos es recto, es decir, 90° igual) y los obtusângulos (si uno de sus ángulos es mayor que 90°). Los tres ángulos de un triángulo agregan siempre 180°.
Dos triángulos son similares cuando las longitudes de los lados de uno de ellos son respectivamente proporcionales a los lados del otro. Para esto, el necesario y bastante condición es que los dos triángulos tienen los tres respectivamente ángulos iguales. En la verdad, como la adición de los ángulos está siempre 180°, él es bastante que uno de los triángulos tiene dos respectivamente ángulos del igual los dos ángulos del otro triángulo a ser similar.
La característica de la semejanza permite para demostrar algunos leyes que se refieren a los triángulos rectangulares. Se considera el triángulo del ABC. ABC de los triángulos, ABP y el ACP -- donde está la altura el AP del hipotenusa (lado de oposición al ángulo recto) - son similares para tener los ángulos iguales. Por lo tanto, sus lados son proporcionales.
De allí dos teoremas importantes se deducen: una pierna (lado que no es hipotenusa) es el promedio proporcional entre el hipotenusa y la proyección de ella en esto (teorema de la pierna, de Euclides); e la altura del hipotenusa es el promedio proporcional entre las dos piezas donde divide este último (teorema de la altura, de Euclides). Al aplicarse el repetidamente el teorema de la pierna, deduce el teorema básico de Pitágoras: la adición de los cuadrados de las piernas es igual al cuadrado del hipotenusa.
Según otra demostración del teorema, el área de los cuatro triángulos rectangulares es igual al área del cuadrado del lado a menos el área del c~- cuadrado lateral b:
El perpendicular cada uno de los lados de un triángulo que pase para la cima de oposición llama altura. Las tres alturas de un triángulo pasan para un mismo punto, llamado ortocentro. Bissetriz es el segmento, contenido en el triángulo, que divide el ángulo interno en dos ángulos iguales. El punto de la intersección del bissetrizes del incentro de tres llamadas de los ángulos, para ser el centro de la circunferencia alistada en el triángulo.
Los medios, o los segmentos que ensamblan cada cima con el punto medio del lado de oposición, se cortan adentro el barycentre, o centro de gravedad del triángulo. Finalmente, mediatrizes de los lados (perpendicular que pasan para el punto medio de cada lado) son adentro cortado circuncentro, o centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Estos puntos si representar gráficamente como demuestra la figura.
Para calcular el área de un triángulo, la mitad de uno de sus lados para la altura correspondiente a este lado se multiplica te. Si las longitudes de los tres lados, b se saben y c, se puede calcular el área para el fórmula del Heron:
donde está el semiperimeter p del triángulo, es decir, la mitad de la adición de las longitudes de los tres lados.
Cuadriláteros y polígonos regulares. Todo el polígono se llama el cuadrilátero cuatro lados. Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos trapezoidales, trapezes y, pues tienen dos, uno respectivamente o ningún par de lados paralelos. Los paralelogramos se pueden ajustar, rectangular, los losangos (o los boquetes) y los romboides. Si los ángulos entre los lados son rectos, los paralelogramos serán llamados ajustados y rectangulares. Si no son, serán llamados los losangos y los romboides. Los cuadrados y los losangos tienen los cuatro lados iguales. En los rectángulos y los romboides los lados son el igual dos los dos.
Determinar el área, o la superficie (s), de un paralelogramo, se multiplica te bajo (cualquier lado) para la altura (distancia entre los lados paralelos). El área del losango también se puede determinar como la mitad del producto de sus líneas diagonales (diagonal es la línea segmento recta que ensambla dos cimas no consecutivas).
Los trapezes pueden ser isósceles, cuando los dos lados no paralelos son iguales, escaleno, cuando son diferentes, y los rectángulos, cuando tienen dos ángulos rectos. El área de un trapeze es la mitad de la adición de sus bases (lados paralelos) multiplicadas por la altura (distancia entre las bases).
Un polígono es regular si todos sus ángulos, tan bien como sus lados, son iguales. Los polígonos regulares si caracterizar para que el hecho pueda ser alistado o ser circunscrito a una circunferencia. El perpendicular a cualesquiera de sus lados que pasen para el centro del polígono (y que coincida con el rayo de la circunferencia alistada) llama el apothem. Al multiplicar el apothem para la mitad del perímetro (agrega de todos los lados), te consigue el área del polígono.
Circunferencia. La circunferencia se llama toda la curva llana y cerrada que puntos sean equidistantes de un punto interior llamado centro. La porción del plan que está dentro de un círculo de las llamadas de la circunferencia. Los segmentos que ensamblan el centro con cualquier punto de la llamada de la circunferencia irradian, y las que ensamblan circunferencia ua de los de los dos puntos, cuerdas. Las cuerdas de la longitud grande, de que son los que pasa para el centro, se llaman los diâmetros, cada uno de ellos resultado también de la unión de dos rayos straight-line.
La longitud linear de una circunferencia es igual los dos por su rayo, multiplicado para un número irracional llamado, ese valle 3.14159… En los cálculos, el costuma a la licencia la indicó sin substituir para su valor del acercamiento. El área del círculo es el producto del número para el cuadrado del rayo.
El cálculo de -- que cualquiera es el cociente incorpora la longitud linear de una circunferencia y de su diámetro -- si hace de la sucesión de los perímetros de polígonos regulares (de tres, cuatro, cinco, seis lados del etc.), alistados y circunscritos en circunferencias del rayo igual el 1. Las dos sucesiones de perímetros (de los polígonos alistados y circunscritos) tienen como haber limitado el número, de que serían el perímetro de un polígono con un número tan grande de los lados que coincidirían con una circunferencia. Archimedes demostró que el valor de era entendido entra.
Por medio de las computadoras y de la serie de energías, él era ya posible calcular cientos casas de mil decimales de. Para las quince primeras casas tenemos igual los 3.141592653589793… El número es irracional, para no tener dízimas periódicos, y el transcendente, para no ser solución de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros.
La porción del círculo entendía entre un arco y un sector circular de dos llamadas de los rayos, y limitado para un arco y una cuerda, segmento circular. Las áreas de estas superficies por medio de los fórmulas se calculan que si seguir a la figura.
Poliedros. Los sólidos limitados para los polígonos llanos llaman los poliedros, de que se llaman regular cuando sus caras son polígonos regulares iguales. Tiene cinco tipos de poliedros regulares: con las caras triangulares (el tetraedro, cuatro caras; octaedro, con ocho; e el icosahedron, con veinte); con el cuadrado formado caras (el cubo, o hexaedro, con seis caras); e con las caras del pentagonal (dodecaedro, con 12 caras).
Se llama la superficie de Polyhedral que una formada por un número finito de polígonos o de caras, y que satisface dos condiciones: (1) cada lado de una cara también pertenece a una otra cara, y solo a una, el contiguo; (2) dos caras contiguas no pertenecen a un mismo plan.
Una superficie con estas características es cerrada, una época que sea demarcada por los polígonos y permita para distinguir entre los puntos interiores y exteriores él. El poliedro es el sistema de los puntos interiores a una superficie polyhedral. El campo común señala tres o más caras (y por lo tanto tres o más lados de los polígonos que compone las caras) llama cimas. Cada lado del polígono, común al polígono de una cara contigua, llama el borde.
El prisma se llama todo el poliedro que tenga dos caras iguales y las barrases paralelas de los lados de n (bases) y las caras laterales de n en paralelogramo forman. Si las caras laterales son perpendiculares a las bases, los prismas se llaman rectos; en caso de que ese contrario, ellos se llame oblicuo. Si las bases de un prisma son paralelogramos, este prisma es a parallelopiped.
Si el poliedro es formado por un polígono de los lados de n (base) y de las caras triangulares de n con una cima común, pirámide de las llamadas. El punto común es la cima de la pirámide, y su distancia hasta la base, la altura. Si la pirámide es cortada por un plan paralelo a la base, consigue dos poliedros: una otra pirámide, menor de edad, y un tronco de la pirámide. Las dos barrases paralelas de las caras del tronco de la pirámide son polígonos similares de los lados de n, y las caras laterales de n son trapezial.
Esfera, cilindro y cono. Toda la superficie cerrada formada por los puntos equidistantes de un punto interior llamado centro es una superficie esférica. Esta figura geométrica también se puede definir como la superficie generada para una circunferencia que las vueltas que tienen uno de sus diâmetros como árbol. La esfera es el sistema de los puntos de una superficie esférica y de los puntos interiores él. La intersección de una esfera con llana forma un círculo, ése será máximo si el plan a pasar para el centro de la esfera, y menos más de tal manera distante al paso del centro.
El cilindro es un cuerpo generado para un rectángulo que dé vuelta, teniendo uno de sus lados como árbol. El cilindro es demarcado por dos bases circulares y una superficie lateral.
Si un triángulo rectangular divertido que tiene como árbol uno de sus piernas, él genera un cono, que es demarcado por dos superficies solamente: la base circular y la superficie lateral.
Geometría analítica
El objetivo de la Geometría analítica es estudiar los problemas geométricos por medio de recursos del análisis matemático. El método si bases en el principio según el cual todo el punto de un plan se puede definir por un par ordenado de los números verdaderos que representan en la distancia de este punto al origen. En el sistema de coordenadas cartesianos (así llamado en homenaje su creador, René Descartes), el origen si precisa en la intersección inscribe dos árboles perpendiculares llamados árbol de los abscissas (o árbol del x) y árbol ordenados (o árbol de la y). Los cuadrantes se llaman las cuatro regiones del plan delimitado por los dos árboles.
Está en la distancia entre ella y el árbol de ordenado, y tiene la abscisa del punto señal positiva o negativa en función del semiplan donde si encuentra (a la derecha del árbol ordenados, positivo; el al izquierdo, negativo). Se define Analogamente, la ordenó del punto como en la distancia entre él y el árbol de los abscissas, que también pueden tener señal positiva o negativa (sobre del árbol de los abscissas, positivo; debajo, negativo). El punto de la intersección del origen de dos llamadas de los árboles el sistema de la referencia, y sus coordenadas son (0, 0).
Al representar el punto, ése es el ser geométrico, por medio de un par de coordenadas cartesianos, que es el ser algebraico, la Geometría analítica llana llega a ser posible representar las líneas líneas rectas y curvas por medio de ecuaciones.
Usos de la Geometría analítica. El concepto de e coordinada, particularmente, de coordenadas cartesianos, invadida todos los domínios de las matemáticas y las ciencias se aplicó por medio de la noción del gráfico de una función. Actualmente, tales gráficos se modifican, se corrigen o se extienden en las pantallas de las computadoras modernas, llegando a ser automáticas el análisis de un tipo de función que admita la representación gráfica.
Ecuación de una línea recta. En un sistema de coordenadas cartesianos, una línea línea recta se puede representar por una ecuación ese estabeleça una relación verdadera para cualquier par de coordinado que define un punto de esta línea recta. Por ejemplo, todos los puntos coordinados de (0, y) están en el árbol ordenados (árbol de la y) y tienen abscisa igual el cero. Así, el árbol ordenados es una línea recta definida para la ecuación x = 0. De la misma forma, el árbol de los abscissas (árbol del x) es una línea recta definida para la ecuación y = 0.
Cualquier otra línea recta que pasa para el origen del sistema cartesiano tiene la razón entre x y y constantes y se puede definir por la ecuación y = MX, donde está una constante m. La razón entre x y y también puede ser expresa para el hacha de la ecuación + por = 0.
Cualquier línea recta se puede representar por una ecuación conseguida de la manera que si describe para seguir. Un punto (x1, y1) de la línea recta se supera y, de él, un nuevo par de árboles perpendiculares, paralelos se remonta a los árboles del sistema cartesiano, con el origen en los coordenadas (x1, y1). Si son los coordenadas que dicen respecto a este árbol (el y') de x', la ecuación de la línea recta ya, pero ahora tendrá la forma considerada con las nueva 0 variables que substituyen actuales los, es decir, ax + by = 0. Como x = x - x1 y y = y - y1, la ecuación de la línea recta, en términos de coordenadas originales, es una expresión linear general igualó el cero que incluye una constante del término (c).
Se tiene, entonces, la ecuación:
(x - x1) + b (y - y1) = 0
o
hacha + por + c = 0
Para verificar si el punto de referencias P de coordinado (x, y) te se contiene en una determinó la línea recta, él es bastantes para substituir 0 x y y variables de la ecuación para los valores de los coordenadas del P. Si la igualdad es satisfecha, el punto pertenece a la línea recta. En caso de que no pertenezca ese contrario, él. Es decir la ecuación expresa coordinó el necesario y bastante condición de las cuales un punto (x, y) debe satisfacer para pertenecer a la línea recta que define.
La Geometría analítica también permite para verificar las condiciones del paralelismo, del perpendicularismo y de la intersección de dos líneas rectas, cálculo en de la distancia entre los dos puntos, entre otros los usos. Todos alinean la línea recta tienen una ecuación con la forma dada y toda la ecuación con esta forma representa una línea línea recta. Las ecuaciones de este tipo, donde están los unitárias las energías de x y de y (igual a uno), se llaman las ecuaciones lineares o primer grado.
Cónico. Una superficie cónica es generada por una línea recta al dar vuelta en torno a un árbol que lo corte. La intersección de los generadores de este cono de la revolución con los planes que no pasan para su cima genera curvas sabidas como secciones cónicas. De acuerdo con el tipo de intersección, las superficies cónicas pueden estar: un círculo, si el plan es paralelo a la base del cono; una elipse, cuando el plan corta a todos los generadores del cono; una parábola, cuando el plan es paralelo a un único generador; el hipérbole de e una, cuando él es paralelo al árbol y al él corta dos generadores.
Así como las ecuaciones lineares representan una línea recta, las ecuaciones de mientras que el grado del tipo Ax2 + de Bxy~+ Cy2 + Dx~+ Ey~+ F~= 0 representa los cónicos. , B, C, D, y y es las constantes que definen cónico específico y dependen de la excentricidad, de la posición del foco y de la línea de la dirección. La muestra general de la ecuación que cónica está determinado totalmente cuando conoce cinco de sus puntos. De ella las ecuaciones de elipses se pueden deducir, las parábolas o los hipérboles, dependiendo del menos, igual o una excentricidad más grande para ser que la unidad.
Estas curvas también se pueden definir como lugares geométricos -- sistema de los puntos que satisfacen una característica definitiva -- e sus ecuaciones se consigue de estas definiciones. Para llegar las ecuaciones las cónicas, los procesos básicos de la Geometría analítica para el cálculo en de la distancia se utilizan entre los dos puntos, especialmente el teorema de Pitágoras en las relaciones entre los lados de un triángulo rectangular.
El círculo es el lugar geométrico de los puntos que son equidistantes de un punto dado, llamado el centro (c). Siendo C (, b) el centro, y r el rayo, la ecuación del círculo será (x~-) 2 + (y~- b) 2 = r2
La elipse es el sistema de puntos tales que la adición de las distancias de ninguno de estos focos llamados fijados los dos puntos de los puntos él es constante. Su ecuación es:
donde y el b está los semiaxles más grandes y menos de la elipse. La excentricidad de la elipse se define cerca y es siempre menos que 1.
El lugar geométrico de los puntos del plan que diferencia de los dos puntos de las distancias lo fijó (los focos) es constante, llama el hipérbole, que es ecuación
Hipérbole tiene dos asíntotas -- curvas que si acercamiento indefinidamente a una línea recta -- son de quién ecuaciones.
La excentricidad del hipérbole se define de forma análoga a la que está de la elipse, y en esto en caso de que ésa él sea siempre más grande que 1.
La parábola es formada por todos los puntos equidistantes de un punto, o el foco, y de una línea recta llamada línea de la dirección. En la distancia p entre el foco y la línea del parámetro de las llamadas de la dirección la parábola. En un su más simple en caso de que eso, la parábola tenga como ecuación y2 = 2px.
Las ecuaciones de la elipse, del hipérbole y de la parábola habían sido conseguidas para el caso particular donde están los árboles los árboles de los coordenadas de la simetría de la cónica que los originó (la parábola tiene un árbol solo de la simetría, que se toma como el árbol del x; en esto en caso de que eso, uno asuma que la curva pasa para el origen). Si el cónico no tiene estos árboles como referencia, su ecuación tiene la forma señalada previamente ya
Ax2 + Bxy~+ Cy2 + Dx~+ Ey~+ F~= 0
Por medio de una traducción y de una rotación de los árboles de coordenadas, esta ecuación se puede transformar en otra, de la forma reducida.
Geometría descriptiva
Diferentemente de Discardings, esa Geometría analítica basada en la correspondencia numérica de la localización de los puntos de las figuras geométricas, Gaspard Monge utilizó un tratamiento geométrico puramente para establecer la correspondencia incorpora los puntos del espacio tridimensional y los puntos de dos planes perpendiculares entre sí mismo, que forman un dihedron de la referencia. Así, cada punto en el espacio es ortogonalmente proyectado en cada uno de los dos planes del dihedron, originando las proyecciones horizontales y verticales.
Por el método de Monge, una figura del espacio tridimensional es estudiada por medio de sus proyecciones en los planes del dihedron. El ser estos planes pulsó uno en el otro para la rotación de uno de ellos alrededor de su intersección (llamada línea tierra), las proyecciones aparece exhausto en un plan solo, épura de la llamada.
Este concepto redujo a una pequeña cantidad de principios abstractos e invariable todas las operaciones geométricas que aparecen inmediatas en las representaciones generalmente de la intersección con plan, las superficies cilíndricas esféricas, cónicas con el etc., en la perspectiva, el técnico de los dibujos, el estudio de cortinas y demasiado las representaciones gráficas. En su Géometrie descriptivo, Monge dio algunos ejemplos del trabajo de las proyecciones en la demostración de las características de las figuras de tres dimensiones, más allá de lanzar la semilla para los estudios modernos de las transformaciones de las figuras geométricas. Entre los discípulos y los continuators de Monge son J.D. Gergonne, Brianchon, Carnot y Poncelet. Gino Loria imaginaba un tercio plan, del perfil en lo referente a los dos planes de Monge, acercando con esto al método de Geometría descriptiva a el que está de la Geometría analítica tridimensional de Clairaut.
Geometrias no-Euclidianos
La Geometría clásica tiene incorpora sus principios de base el quinto postulado de Euclides, o el postulado de las barrases paralelas, que merecieron especulaciones de los geometricians de todas las veces. En el siglo XVIII, Girolamo Saccheri y Johann Lambert habían formulado algunas hipótesis que miraban para substituir o para explicar ese postulado. Pero el trabajo de una repercusión más grande estaba de Legendre, de que hecho una revisión completa de los elementos de Euclides, en una versión que fue divulgada extensamente en la Europa y sirvió de la base para todos los cursos de la Geometría elemental de las escuelas intermedias brasileñas. El postulado de las barrases paralelas recibió de Legendre la declaración siguiente, equivalente a la que está de Euclides: “Para un punto dado un paralelo a una línea recta dada se puede remontar solamente.”
En 1829 los trabajos de Lobatchevski habían sido publicados en ruso, en quien una nueva Geometría con la substitución del quinto postulado de Euclides para otro estaba structuralized, no equivalente, qué originó una diversa Geometría de la euclidiana. Fue llamada por el autor de la Geometría imaginaria y pasó más adelante para ser conocida como Geometría no-Euclidiana hiperbólica.
La declaración del quinto postulado de la Geometría de Lobatchevski es la siguiente: “Las líneas rectas de un plan se pueden clasificar en dos grupos en lo referente a uno dado la línea recta del mismo llano: el grupo de eso que interceptan y el grupo de eso no interceptan esta línea recta dada. Las líneas rectas límites de estos grupos se llaman paralelas a la línea recta dada.” Exemplificando: cualquier línea recta r y un punto P, exterior el R. que pasa para P imaginamos líneas rectas como s, t, u, v que intercepten r y otras líneas rectas x, y, z…, que no interceptan el R. Al separar a los dos grupos, Lobachevski admitió las líneas rectas m y n como barrases paralelas el R.
Por lo tanto, mientras que para un punto exterior a una línea recta en Geometría euclidiana si admite solamente una línea recta que no intercepte la línea recta dada, en Geometría del lobachevskiana tiene un infinito de ellas. Es decir mientras que en Geometría elemental la adición de ángulos internos de un triángulo es 180o iguales, en la Geometría de Lobachevski esta adición es de menor importancia quién 180o.
Sin saber los trabajos del geometrician ruso, el húngaro János Bolyai tenía encariñado las conclusiones análogas en la posibilidad structuralize una nueva Geometría sin la contradicción lógica. Al mismo tiempo, el gauss escribió las letras donde ella dice tener encariñado las conclusiones similares. Así, el honor de la creación de la Geometría no-Euclidiana se divide entre estos tres matemáticos.
En 1854, Riemann presentó al mundo la una Geometría no-Euclidiana del segundo, conocida como Geometría elíptica, en la cual si admite que “para un punto exterior a una línea recta si no puede remontar ningún paralelo” o que “la adición de los ángulos internos de un triángulo es mayor que 180o.”
Los geometrias no-Euclidianos habían sido creados sin la preocupación con el del mundo real, de manera abstracta, por lo tanto, sin tener como objetivo a un propósito práctico. Sin embargo, con la conceptualización de la flexión de la superficie, dada para el gauss, puede ser dicho que en las superficies de la falta de información la flexión (llana y las superficies diseñaste) de él es posible establecer una Geometría en los moldes de el euclidiano; en las superficies de constante y del positivo la flexión (superficie esférica) de ella es Geometría verificada de Riemann, donde la línea recta euclidiana es substituida por el círculo máximo y el plan para la superficie esférica; en las superficies de constante y de la negativa se aplica la flexión (pseudo-esfera) de una Geometría del tipo de Lobachevski.
fuente: ©Encyclopaedia Britannica de las publicaciones del Brasil Ltda.

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