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Geometria

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A necessidade de medir terras determinou os primeiros passos da geometria. O filósofo grego Eudemo de Rodes, do século IV a.C., um dos primeiros historiadores das ciências, conta que os egípcios mediam suas terras para acompanhar o regime de inundações anuais do rio Nilo. De fato, o termo provém das palavras gregas geo (terra) e metron (medida).
No sentido moderno, geometria é a disciplina matemática que tem por objetivo o estudo do espaço e das formas nele contidas.
Aspectos históricos. Nas antigas culturas do Egito e da Mesopotâmia, a geometria consistia simplesmente de um conjunto de regras empíricas. Os gregos, entre os quais destacou-se Euclides, no século III a.C., sistematizaram todos os conhecimentos existentes sobre o tema e estabeleceram seus fundamentos num conjunto de axiomas dos quais, segundo princípios dedutivos, se obtinham os demais resultados. A discussão dos princípios da geometria euclidiana levou à construção, no século XIX, de novos sistemas geométricos, denominados geometrias não-euclidianas, e desembocou na generalização de seus métodos e sua aplicação a espaços cada vez mais abstratos.
Elementos e figuras geométricas
A geometria, em qualquer de suas abordagens, apresenta uma série de elementos primários comuns. Distinguem-se nesse nível os conceitos de plano, ponto, linha (reta, curva etc.), superfície, segmento e outros que, combinados, formam todas as figuras geométricas. As geometrias descritiva e projetiva clássicas se ocupam da representação e das propriedades das figuras e de suas projeções. Distinguem-se nelas algumas figuras geométricas fundamentais.
Polígonos. Um polígono de n lados (sendo n maior ou igual a três) está definido por n pontos ordenados de um plano (A1, A2, ... An) chamados vértices, entre os quais não pode haver três colineares consecutivos. Os n segmentos (A1A2, A2A3, ... AnA1) são chamados lados, e sua interseção forma os vértices.
Polígono é uma linha fechada, isto é, divide o plano em duas regiões, uma interior e outra exterior ao polígono. A diferença entre elas é que qualquer semi-reta cuja origem seja um ponto na região interior corta pelo menos um lado do polígono, o que não acontece necessariamente se o ponto estiver na região exterior. Em função do número de lados (ou ângulos), os polígonos classificam-se em triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos etc.
Triângulos. Os polígonos de três lados recebem o nome de triângulos. Podem ser eqüiláteros (quando os três lados são iguais, ou seja, têm o mesmo comprimento), isósceles (dois lados iguais) ou escalenos (três lados desiguais). De acordo com a medida de seus ângulos, os triângulos dividem-se em acutângulos (se todos os ângulos são menores que 90o), retângulos (se um dos ângulos é reto, ou seja, igual a 90°) e obtusângulos (se um de seus ângulos é maior que 90°). Os três ângulos de um triângulo somam sempre 180°.

Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um deles são respectivamente proporcionais aos lados do outro. Para isso, a condição necessária e suficiente é que os dois triângulos tenham os três ângulos respectivamente iguais. Na verdade, como a soma dos ângulos é sempre 180°, basta que um dos triângulos tenha dois ângulos respectivamente iguais a dois ângulos do outro triângulo para serem semelhantes.
A propriedade da semelhança permite demonstrar várias leis referentes aos triângulos retângulos. Considere-se o triângulo ABC. Os triângulos ABC, ABP e ACP -- onde AP é a altura da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) - são semelhantes por terem os ângulos iguais. Conseqüentemente, seus lados são proporcionais.
Daí se inferem dois importantes teoremas: um cateto (lado que não é a hipotenusa) é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção dele sobre esta (teorema do cateto, de Euclides); e a altura da hipotenusa é a média proporcional entre as duas partes em que divide esta última (teorema da altura, de Euclides). Ao aplicar-se repetidamente o teorema do cateto, deduz-se o teorema fundamental de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Segundo outra demonstração do teorema, a área dos quatro triângulos retângulos é igual à área do quadrado de lado a menos a área do quadrado de lado c~- b:


A perpendicular a cada um dos lados de um triângulo que passa pelo vértice oposto chama-se altura. As três alturas de um triângulo passam por um mesmo ponto, denominado ortocentro. Bissetriz é o segmento, contido no triângulo, que divide o ângulo interno em dois ângulos iguais. O ponto de interseção das bissetrizes dos três ângulos chama-se incentro, por ser o centro da circunferência inscrita no triângulo.
As medianas, ou segmentos que unem cada vértice com o ponto mediano do lado oposto, cortam-se no baricentro, ou centro de gravidade do triângulo. Finalmente, as mediatrizes dos lados (perpendiculares que passam pelo ponto mediano de cada lado) cortam-se no circuncentro, ou centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Esses pontos se representam graficamente como mostra a figura.

Para calcular a área de um triângulo, multiplica-se a metade de um de seus lados pela altura correspondente a esse lado. Se são conhecidos os comprimentos dos três lados, a, b e c, pode-se calcular a área pela fórmula de Heron:

onde p é o semiperímetro do triângulo, ou seja, a metade da soma dos comprimentos dos três lados.
Quadriláteros e polígonos regulares. Chama-se quadrilátero todo polígono de quatro lados. Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos, trapézios e trapezóides, segundo tenham respectivamente dois, um ou nenhum par de lados paralelos. Os paralelogramos podem ser quadrados, retângulos, losangos (ou rombos) e rombóides. Se os ângulos entre os lados forem retos, os paralelogramos serão chamados quadrados e retângulos. Se não forem, serão chamados losangos e rombóides. Os quadrados e losangos têm os quatro lados iguais. Nos retângulos e rombóides os lados são iguais dois a dois.
Para determinar a área, ou superfície (S), de um paralelogramo, multiplica-se a base (qualquer lado) pela altura (distância entre lados paralelos). A área do losango também pode ser determinada como a metade do produto de suas diagonais (diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos).
Os trapézios podem ser isósceles, quando os dois lados não paralelos são iguais, escalenos, quando são desiguais, e retângulos, quando têm dois ângulos retos. A área de um trapézio é a metade da soma de suas bases (lados paralelos) multiplicada pela altura (distância entre as bases).


Um polígono é regular se todos os seus ângulos, assim como seus lados, forem iguais. Os polígonos regulares se caracterizam pelo fato de poderem ser inscritos ou circunscritos a uma circunferência. A perpendicular a qualquer de seus lados que passa pelo centro do polígono (e que coincide com o raio da circunferência inscrita) chama-se apótema. Ao multiplicar o apótema pela metade do perímetro (soma de todos os lados), obtém-se a área do polígono.

Circunferência. Chama-se circunferência toda curva plana e fechada cujos pontos são eqüidistantes de um ponto interior chamado centro. A porção do plano que está no interior de uma circunferência denomina-se círculo. Os segmentos que unem o centro com qualquer ponto da circunferência chamam-se raios, e os que unem dois pontos quaisquer da circunferência, cordas. As cordas de maior comprimento, que são as que passam pelo centro, são chamadas diâmetros, cada um deles resultante também da união de dois raios em linha reta.
O comprimento linear de uma circunferência é igual a duas vezes o seu raio, multiplicado por um número irracional denominado , que vale 3,14159... Nos cálculos, costuma-se deixá-lo indicado sem substituir por seu valor aproximado. A área do círculo é o produto do número pelo quadrado do raio.
O cálculo de -- que é o quociente entre o comprimento linear de uma circunferência qualquer e seu diâmetro -- se faz a partir da sucessão de perímetros de polígonos regulares (de três, quatro, cinco, seis etc. lados), inscritos e circunscritos em circunferências de raio igual a 1. As duas sucessões de perímetros (a dos polígonos inscritos e a dos circunscritos) têm como limite o número , que seria o perímetro de um polígono com um número tão grande de lados que coincidiria com uma circunferência. Arquimedes demonstrou que o valor de estava compreendido entre .
Por meio de computadores e séries de potências, já foi possível calcular cem mil casas decimais de . Para as quinze primeiras casas temos igual a 3,141592653589793... O número é irracional, por não ter dízimas periódicas, e transcendente, por não ser solução de nenhuma equação algébrica com coeficientes inteiros.
A porção de círculo compreendida entre um arco e dois raios chama-se setor circular, e a limitada por um arco e uma corda, segmento circular. Calculam-se as áreas dessas superfícies por meio das fórmulas que se seguem à figura.

Poliedros. Os sólidos limitados por polígonos planos denominam-se poliedros, que são chamados regulares quando suas faces são polígonos regulares iguais. Há cinco tipos de poliedros regulares: com faces triangulares (o tetraedro, com quatro faces; o octaedro, com oito; e o icosaedro, com vinte); com faces quadradas (o cubo, ou hexaedro, com seis faces); e com faces pentagonais (o dodecaedro, com 12 faces).

Denomina-se superfície poliédrica aquela formada por um número finito de polígonos ou faces, e que satisfaz duas condições: (1) cada lado de uma face pertence também a uma outra face, e só a uma, contígua; (2) duas faces contíguas não pertencem a um mesmo plano.
Uma superfície com essas características é fechada, uma vez que é demarcada pelos polígonos e permite distinguir entre pontos interiores e exteriores a ela. Poliedro é o conjunto dos pontos interiores a uma superfície poliédrica. Os pontos comuns a três ou mais faces (e portanto a três ou mais lados dos polígonos que compõem as faces) chamam-se vértices. Cada lado de polígono, comum ao polígono de uma face contígua, chama-se aresta.
Chama-se prisma todo poliedro que tem duas faces iguais e paralelas de n lados (bases) e n faces laterais em forma de paralelogramo. Se as faces laterais forem perpendiculares às bases, os prismas são chamados retos; caso contrário, chamam-se oblíquos. Se as bases de um prisma são paralelogramos, esse prisma é um paralelepípedo.

Se o poliedro é formado por um polígono de n lados (base) e n faces triangulares com um vértice comum, chama-se pirâmide. O ponto comum é o vértice da pirâmide, e sua distância até a base, a altura. Se a pirâmide for cortada por um plano paralelo à base, obtêm-se dois poliedros: uma outra pirâmide, menor, e um tronco de pirâmide. As duas faces paralelas do tronco de pirâmide são polígonos semelhantes de n lados, e as n faces laterais são trapezoidais.

Esfera, cilindro e cone. Toda superfície fechada formada por pontos eqüidistantes de um ponto interior chamado centro é uma superfície esférica. Essa figura geométrica também pode ser definida como a superfície gerada por uma circunferência que gira tendo um de seus diâmetros como eixo. Esfera é o conjunto dos pontos de uma superfície esférica e dos pontos interiores a ela. A interseção de uma esfera com um plano forma um círculo, que será máximo se o plano passar pelo centro da esfera, e tanto menor quanto mais distante passar do centro.


Cilindro é um corpo gerado por um retângulo que gira, tendo um de seus lados como eixo. O cilindro é demarcado por duas bases circulares e uma superfície lateral.
Se um triângulo retângulo gira tendo como eixo um de seus catetos, ele gera um cone, que é demarcado por duas superfícies apenas: a base circular e a superfície lateral.
geometria analítica
O objetivo da geometria analítica é estudar os problemas geométricos por meio de recursos da análise matemática. O método se baseia no princípio segundo o qual todo ponto de um plano pode ser definido por um par ordenado de números reais que representam a distância desse ponto à origem. No sistema de coordenadas cartesianas (assim chamadas em homenagem a seu criador, René Descartes), a origem se situa na interseção entre dois eixos perpendiculares chamados eixo das abscissas (ou eixo dos x) e eixo das ordenadas (ou eixo dos y). Chamam-se quadrantes as quatro regiões do plano delimitadas pelos dois eixos.

Abscissa do ponto é a distância entre ele e o eixo de ordenadas, e tem sinal positivo ou negativo em função do semiplano em que se encontre (à direita do eixo das ordenadas, positivo; à esquerda, negativo). Analogamente, define-se a ordenada do ponto como a distância entre ele e o eixo das abscissas, que também pode ter sinal positivo ou negativo (acima do eixo das abscissas, positivo; abaixo, negativo). O ponto de interseção dos dois eixos chama-se origem do sistema de referência, e suas coordenadas são (0, 0).
Ao representar o ponto, que é um ente geométrico, por meio de um par de coordenadas cartesianas, que é um ente algébrico, a geometria analítica plana torna possível representar linhas retas e curvas por meio de equações.
Aplicações da geometria analítica. O conceito de coordenadas e, em particular, de coordenadas cartesianas, invadiu todos os domínios da matemática e das ciências aplicadas por meio da noção de gráfico de uma função. Atualmente, tais gráficos são modificados, corrigidos ou ampliados nas telas dos modernos computadores, tornando automática a análise de um tipo qualquer de função que admita representação gráfica.
Equação de uma reta. Num sistema de coordenadas cartesianas, uma linha reta pode ser representada por uma equação que estabeleça uma relação verdadeira para qualquer par de coordenadas que defina um ponto dessa reta. Por exemplo, todos os pontos de coordenadas (0, y) estão sobre o eixo das ordenadas (eixo dos y) e têm abscissa igual a zero. Assim, o eixo das ordenadas é uma reta definida pela equação x = 0. Da mesma maneira, o eixo das abscissas (eixo dos x) é uma reta definida pela equação y = 0.
Qualquer outra reta que passe pela origem do sistema cartesiano tem a razão entre x e y constante e pode ser definida pela equação y = mx, onde m é uma constante. A razão entre x e y também pode ser expressa pela equação ax + by = 0.
Qualquer reta pode ser representada por uma equação obtida da maneira que se descreve a seguir. Toma-se um ponto (x1, y1) da reta e, a partir dele, traça-se um novo par de eixos perpendiculares, paralelos aos eixos do sistema cartesiano, com a origem nas coordenadas (x1, y1). Se as coordenadas que dizem respeito a esse eixo são (x', y'), a equação da reta terá a forma já vista, mas agora com as novas variáveis substituindo as apresentadas, ou seja, ax' + by' = 0. Como x' = x - x1 e y' = y - y1, a equação da reta, em termos das coordenadas originais, é uma expressão linear geral igualada a zero que inclui um termo constante (c).
Tem-se, então, a equação:
a(x - x1) + b(y - y1) = 0
ou
ax + by + c = 0
Para verificar se um dado ponto P de coordenadas (x, y) está contido numa determinada reta, basta substituir as variáveis x e y da equação pelos valores das coordenadas de P. Se a igualdade for satisfeita, o ponto pertence à reta. Caso contrário, não pertence. Em outras palavras, a equação expressa a condição necessária e suficiente que um ponto de coordenadas (x, y) deve satisfazer para pertencer à reta que ela define.

A geometria analítica também permite verificar as condições de paralelismo, perpendicularismo e interseção de duas retas, cálculo da distância entre dois pontos, entre outras aplicações. Toda linha reta tem uma equação com a forma dada e toda equação com essa forma representa uma linha reta. As equações desse tipo, em que as potências de x e y são unitárias (iguais a um), são chamadas equações lineares ou de primeiro grau.
Cônicas. Uma superfície cônica é gerada por uma reta ao girar em torno a um eixo que a corta. A interseção das geratrizes desse cone de revolução com planos que não passem pelo seu vértice gera curvas conhecidas como seções cônicas. De acordo com o tipo de interseção, as superfícies cônicas podem ser: um círculo, se o plano for paralelo à base do cone; uma elipse, quando o plano corta todas as geratrizes do cone; uma parábola, quando o plano está paralelo a uma única geratriz; e uma hipérbole, quando está paralelo ao eixo e corta duas geratrizes.

Assim como as equações lineares representam uma reta, as equações de segundo grau de tipo Ax2 + Bxy~+ Cy2 + Dx~+ Ey~+ F~= 0 representam as cônicas. A, B, C, D, e E são constantes que definem uma cônica específica e dependem da excentricidade, da posição do foco e da diretriz. A equação geral mostra que uma cônica está completamente determinada quando se conhecem cinco de seus pontos. Dela podem ser deduzidas equações de elipses, parábolas ou hipérboles, dependendo de a excentricidade ser menor, igual ou maior que a unidade.
Essas curvas também podem ser definidas como lugares geométricos -- conjunto de pontos que satisfazem uma propriedade determinada -- e suas equações são obtidas a partir dessas definições. Para chegar às equações das cônicas, utilizam-se os processos básicos da geometria analítica para o cálculo da distância entre dois pontos, especialmente o teorema de Pitágoras sobre as relações entre os lados de um triângulo retângulo.
Círculo é o lugar geométrico dos pontos que são eqüidistantes de um ponto dado, chamado centro (C). Sendo C (a, b) o centro, e r o raio, a equação do círculo será (x~- a)2 + (y~- b)2 = r2
Elipse é o conjunto de pontos tais que a soma das distâncias de qualquer desses pontos a dois pontos fixos chamados focos é constante. Sua equação é:

onde a e b são os semieixos maior e menor da elipse. A excentricidade da elipse é definida por e é sempre menor que 1.

O lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença de distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante, chama-se hipérbole, cuja equação é

A hipérbole tem duas assíntotas -- curvas que se aproximam indefinidamente de uma reta -- cujas equações são .
A excentricidade da hipérbole define-se de forma análoga à da elipse, e nesse caso é sempre maior que 1.

A parábola é formada por todos os pontos eqüidistantes de um ponto, ou foco, e de uma reta chamada diretriz. A distância p entre o foco e a diretriz chama-se parâmetro da parábola. Em seu caso mais simples, a parábola tem como equação y2 = 2px.
As equações da elipse, da hipérbole e da parábola foram obtidas para o caso particular em que os eixos das coordenadas são os eixos de simetria da cônica que as originou (a parábola tem um só eixo de simetria, que é tomado como o eixo dos x; nesse caso, supõe-se que a curva passa pela origem). Se a cônica não tem esses eixos como referência, sua equação tem a forma já assinalada anteriormente
Ax2 + Bxy~+ Cy2 + Dx~+ Ey~+ F~= 0
Mediante uma translação e uma rotação dos eixos de coordenadas, pode-se transformar esta equação em outra, de forma reduzida.
geometria descritiva
Diferentemente de Descartes, que fundamentou a geometria analítica na correspondência numérica da localização dos pontos das figuras geométricas, Gaspard Monge empregou um tratamento puramente geométrico para estabelecer a correspondência entre os pontos do espaço tridimensional e os pontos de dois planos perpendiculares entre si, que formam um diedro de referência. Assim, cada ponto no espaço é projetado ortogonalmente sobre cada um dos dois planos do diedro, originando as projeções horizontal e vertical.
Pelo método de Monge, uma figura do espaço tridimensional é estudada por meio de suas projeções nos planos do diedro. Sendo esses planos rebatidos um sobre o outro pela rotação de um deles em torno de sua interseção (chamada linha de terra), as projeções aparecem desenhadas num só plano, chamado épura.

Essa concepção reduziu a um pequeno número de princípios abstratos e invariáveis todas as operações geométricas que aparecem nas representações usuais de interseção de plano com plano, de superfícies cilíndricas com esféricas, cônicas etc., na perspectiva, nos desenhos técnicos, no estudo de sombras e demais representações gráficas. Em sua Géometrie descriptive, Monge deu vários exemplos do emprego das projeções na demonstração das propriedades das figuras de três dimensões, além de lançar a semente para os modernos estudos das transformações das figuras geométricas. Entre os discípulos e continuadores de Monge estão J. D. Gergonne, Brianchon, Carnot e Poncelet. Gino Loria imaginou um terceiro plano, de perfil em relação aos dois planos de Monge, aproximando com isso o método da geometria descritiva ao da geometria analítica tridimensional de Clairaut.
geometrias não-euclidianas
A geometria clássica tem entre seus princípios básicos o quinto postulado de Euclides, ou postulado das paralelas, que mereceu especulações de geômetras de todos os tempos. No século XVIII, Girolamo Saccheri e Johann Lambert formularam várias hipóteses que procuravam substituir ou explicar aquele postulado. Mas o trabalho de maior repercussão foi o de Legendre, que fez uma revisão completa dos Elementos de Euclides, numa versão que foi amplamente divulgada na Europa e serviu de base para todos os cursos de geometria elementar das escolas secundárias brasileiras. O postulado das paralelas recebeu de Legendre o seguinte enunciado, equivalente ao de Euclides: "Por um ponto dado pode-se traçar somente uma paralela a uma reta dada."
Em 1829 foram publicados em russo os trabalhos de Lobatchevski, nos quais estava estruturada uma nova geometria com a substituição do quinto postulado de Euclides por outro, não equivalente, o que originou uma geometria diferente da euclidiana. Foi chamada pelo autor de geometria imaginária e depois passou a ser conhecida como geometria não-euclidiana hiperbólica.
O enunciado do quinto postulado da geometria de Lobatchevski é o seguinte: "As retas de um plano podem classificar-se em dois grupos em relação a uma dada reta do mesmo plano: o grupo das que interceptam e o grupo das que não interceptam essa reta dada. As retas limites desses grupos chamam-se paralelos à reta dada." Exemplificando: seja a reta r e um ponto P, exterior a r. Passando por P imaginamos retas como s, t, u, v que interceptam r e outras retas x, y, z..., que não interceptam r. Ao separar os dois grupos, Lobachevski admitiu as retas m e n como paralelas a r.

Portanto, enquanto por um ponto exterior a uma reta na geometria euclidiana só se admite uma reta que não intercepta a reta dada, na geometria lobachevskiana há uma infinidade delas. Em outras palavras, enquanto na geometria elementar a soma de ângulos internos de um triângulo é igual a 180o, na geometria de Lobachevski essa soma é menor que 180o.
Sem conhecer os trabalhos do geômetra russo, o húngaro János Bolyai tinha chegado a conclusões análogas sobre a possibilidade de estruturar uma nova geometria sem contradição lógica. Na mesma época, Gauss escreveu cartas em que relata ter chegado a conclusões semelhantes. Assim, a honra da criação da geometria não-euclidiana está dividida entre esses três matemáticos.
Em 1854, Riemann apresentou ao mundo uma segunda geometria não-euclidiana, conhecida como geometria elíptica, na qual se admite que "por um ponto exterior a uma reta não se pode traçar nenhuma paralela a ela" ou que "a soma dos ângulos internos de um triângulo é maior que 180o."
As geometrias não-euclidianas foram criadas sem preocupação com o mundo real, de modo abstrato, portanto, sem visar a uma finalidade prática. Entretanto, com a conceituação de curvatura de superfície, dada por Gauss, pode-se dizer que nas superfícies de curvatura nula (plano e superfícies planificáveis) é possível estabelecer uma geometria nos moldes da euclidiana; nas superfícies de curvatura constante e positiva (superfície esférica) verifica-se a geometria de Riemann, onde a reta euclidiana é substituída pelo círculo máximo e o plano pela superfície esférica; nas superfícies de curvatura constante e negativa (pseudo-esfera) aplica-se uma geometria do tipo de Lobachevski.

fonte: ©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda.

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